Роден в Париж през 1928 г. в семейство на руснаци, той прекарва детството си в Милано, преди да се върне във френската столица и в крайна сметка да се установи в САЩ. През 1948 г. се среща със Стайхен, Робърт Капа и Рой Страйкър в Ню Йорк, а именно Капа го кани да се присъедини към агенцията Magnum Photos през 1953 г. Оттогава Елиът е член на престижната група, в която често изпълнява ролята на председател.
През 1970 г. започва да продуцира филми – общо 17 в цялата си кариера, включително документални, комедии и сатира. Организира самостоятелни изложби в Америка, Париж, Мадрид и Лондон. В течение на кариерата си е публикувал повече от 20 книги.
